[原创]e^π与π^e，谁大谁小？

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(2021-02-17 09:31:51)

标签：

比较大小

泰勒级数

分类：

代数

e^π与π^e，谁大谁小？

大罕

前面专文谈了“2^π与π^2谁大谁小”，把有理数2换成无理数e，方法一样．略述如下：

解法一：利用计算器，可得e^π=23.14，π^e=22.46，可见e^π>π^e．

解法二：如图，作指数函数y=e^x和幂函数y=x^e的图像，描出点(π, e^π) 和(e,

π^e)，由图可知e^π>π^e．(见附图)

解法三：求导法．转化为比较lne^π与lnπ^e，即π与elnπ的大小．即求π-elnπ与0的大小关系．为此令f(x)=x-elnx，则f'(x)=1-e/x，

从而可知f(x)最小值为f(e)=0，所以f(π)＞f(0)，故有e^π＞π^e．

基于无理数e的定义：当n→∞时，lim(1+1/n)^n=e，我们还有

解法四：e =lim(1+1/n)^n，⇒

e^x =lim(1+x/n)^n⇒ e^x>(1+x/y)^y,

令x=π-e,

y=e，则有e^(π-e)>[1+(π-e)/e]^e，

⇔e^(π-e)>(π/e)^e，⇔e^π>π^e.

若用更“高级”的工具，可用泰勒级数来解，

解法五：我们知道：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!+…，

则当x>0时有e^x>1+x，取x=π/e-1，

⇒e^(π/e)>π, ⇒

e^π>π^e.

可谓：题目虽小，内藏机巧。刨根问底，收获不少。

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